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title: 不定方程（组）
description: 不定方程（组）-数量关系-上岸学堂
keywords: 不定方程,不定方程组,数量关系,上岸学堂,行测,数量关系
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import BlurredAnswer from '@/components/ui/BlurredAnswer';



# 不定方程（组） 

## 特征：
**未知数个数>方程个数** 

未知数个数>方程个数，且受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整
数等）的方程或方程组。如，$3x+5y=41$，两个未知数但是只有一个方程。

## 考点题型 


**技巧：**   

### 1. 尾数法
**$3x+10y=41$，$10y$尾数是$0$，$3x$尾数一定是$1$，$x=7$，$y=2$.** 

**例题**：
超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个
苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装
盒相差多少个? 

- A. 3                  
- C. 7                  
- B. 4 
- D. 13

<BlurredAnswer>
解析：不定方程。设大、小包装盒各有x、y个，12x＋5y=99。 
方法1：尾数法。 <br/>
5y 尾数为0或5，则12x尾数为9或4，9不符合，只有4，x为2或7，
x=2，y=15，符合；x=7，y=3，相加≠10多个，不符合。因此x=2，y=15，相
差13，D。 <br/>
方法2：奇偶特性 <br/>
12x 为偶数、99为奇数，故5y为奇数，则尾数为5。12x尾数为9
5=4，得x=2或x=7。代入验证，当x=2时，y=15，符合共十多个盒子，此时
15－2=13；当x=7时，y=3，不符合共十多个盒子（刚好十个）。故两种包装
盒相差13个。D。 <br/>
方法3：因子倍数。 <br/>
12x、99 都为3的倍数，则5y也为3的倍数，y为3的倍数。 
</BlurredAnswer>

### 2. 因子倍数：
**11a+7b=121，11a、121、7b都是11倍数** 

**例题**：
设a，b均为正整数，且有等式11a+7b=132成立，则a的值为

- A. 6               
- C. 4                  
- B. 3 
- D. 5

<BlurredAnswer>
解析：解法1：不定方程，倍数法。 
132 和11a为11的倍数，故7b也为11的倍数，b为11的倍数。又因
a，b均为正整数，则，。则只能b=11，解得a=5。D。  <br/>
解法2：代入排除。代入11a＋7b=132，得b为正整数。只有a=5时，b
为整数11，符合。<br/>
</BlurredAnswer>

**例题**：
小张的孩子出生的月份乘以 29，出生的日期乘以 
24，所得的两个乘积加起来刚好等于 900。问孩子出生在哪一个季度？

- A．第一季度                 
- B．第二季度
- C．第三季度                 
- D．第四季度

<BlurredAnswer>
(1) 整除特性+因子倍数。 <br/>
假设月份a，日期b，29a+24b=900，24b能被3和4整除，900也能被3
和4整除，故29a也能被3和4整除，也即是12的倍数。 <br/>
(2)29 不能12整除，则a是12的倍数，a只能12，第四季度。D。
</BlurredAnswer>

### 3. 奇偶特性
**加法$12x＋5y=99$，未知数相加=常数** 

**例题**：
20人乘飞机从甲市前往乙市，总费用为27000元。每张机
票的全价票单价为2000元，除全价票之外，该班飞机还有九折票和五折票两
种选择。每位旅客的机票总费用除机票价格之外，还包括170元的税费。则
购买九折票的乘客与购买全价票的乘客人数相比

- A. 两者一样多                  
- C. 买全价票的多2人             
- B. 买九折票的多1人 
- D. 买九折票的多4人

<BlurredAnswer>
全价为2000，九折为1800，五折为1000，设分别买x，y，z张：x＋y＋
z=20，2000x＋1800y＋1000z＋170×20=27000。 
求x与y的关系，应消z，得5x＋4y=18。x必然为偶数，当x=2时，得
y=2，即两者一样多。A。
</BlurredAnswer>

### 4. 代入排除

**例题**：
某学校组织一次教工接力比赛，共准备了25件奖品分发给
获得一、二、三等奖的职工，为设计获得各级奖励的人数，制定两种方案：
若一等奖每人发5件，二等奖每人发3件，三等奖每人发2件，刚好发完奖
品；若一等奖每人发6件，二等奖每人发3件，三等奖每人发1件，也刚好
发完奖品，则获得二等奖的教工有多少人？ 

- A. 6                 
- C. 4                 
- B. 5 
- D. 3 

<BlurredAnswer>
解析：代入排除法

设一、二、三等奖的职工人数分别为 $ x $、$ y $、$ z $，
$
\begin{cases}
5x + 3y + 2z = 25 \quad \text{①} \\
6x + 3y + z = 25 \quad \text{②}
\end{cases}
$
将 $\text{②} \times 2$。

从 ① 得：
$
7x + 3y = 25
$
代入 A 选项，$ y = 6 $，解得 $ x = 1 $，$ z = 1 $，符合。 **A**.
</BlurredAnswer>

### 5. 消元法
**消一个，再结合倍数特性、奇偶性、尾数法等**

**例题**：
某地遭受大自然灾害后，A公司立即组织捐款救灾。已知
该公司有100名员工捐款，捐款额有300元、500元和2000元三种，捐款总
额为36000元，则捐款500元的员工数是

- A. 11 人                
- C. 13 人                
- B. 12 人 
- D. 14 人 


<BlurredAnswer>
解析：
**解法1：不定方程**
设 300 元、500 元、2000 元捐款人数分别为 $ x $、$ y $、$ z $，
$
x + y + z = 100
$
$
300x + 500y + 2000z = 36000
$
消 $ x $，得：
$
2y + 17z = 60
$
【$ x $ 前的系数最小，消它好算】
**奇偶特性**
60 与 $ 2y $ 均为偶数，则 $ 17z $ 为偶数，$ z $ 为偶数。当 $ z = 2 $ 时，得 $ y = 13 $，符合；当 $ z \geq 4 $ 的偶数时，解得 $ y $ 为负，不满足。故捐款 500 元的员工数是 13 人。**C**.

**解法2：倍数法**
$2y$ 和 $60$ 都是 $2$ 的倍数，则 $17z$ 是 $2$ 的倍数，$z$ 是 $2$ 的倍数。$17z < 60$，$z = 2$，$y = 13$。
</BlurredAnswer>


### 6. 替换赋0法

**例题**：
小刚买了3支钢笔，1个笔记本，2瓶墨水花去35元钱，
小强在同一家店买同样的5支钢笔，1个笔记本，3瓶墨水花去52元钱，则
买1支钢笔，1个笔记本，1瓶墨水共需（ ）元。

- A. 9                  
- C. 15                 
- B. 12 
- D. 18 

<BlurredAnswer>
解析：

**解法 1：赋 0 法**
因 $ x + y + z $ 为一个确定值，且有无数种情况，因此赋 0 好求解。

$
\begin{cases}
3x + y + 2z = 35 \\
5x + y + 3z = 52
\end{cases}
$
赋 $ x = 0 $，解得 $ z = 17 $，$ y = 1 $，则 $ x + y + z = 18 $（元）。**D**.

**解法 2：不定方程**
设钢笔价格单位为 $ x $、笔记本 $ y $、墨水 $ z $，钱不宜用整数除法，可以有小数。

$
\begin{cases}
3x + y + 2z = 35 \quad \text{①} \\
5x + y + 3z = 52 \quad \text{②}
\end{cases}
$
将 $\text{①} \times 2 - \text{②}$，得：
$
x + y + z = 18 \ \text{（元）}.
$
</BlurredAnswer>

### 7. 配系数法 

**例题**：
甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，
共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了
43 元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱?

- A. 21 元                
- C. 10 元                
- B. 11 元 
- D. 17 元

<BlurredAnswer>
解析：

**解法 1：赋 0 法，假设法**
设签字笔、圆珠笔、铅笔单价分别为 $ x $、$ y $、$ z $ 元，
$
3x + 7y + z = 32 \quad \text{①} \quad ; \quad 4x + 10y + z = 43 \quad \text{②}
$
由于 $ y $ 的系数最大，可赋 $ y = 0 $，代入 $ 3x + 7y + z = 32 \quad \text{①} $ 和 $ 4x + 10y + z = 43 \quad \text{②} $，解得 $ x = 11 $，$ z = -1 $。

故三种笔各买一支共：
$
11 + 0 + (-1) = 10 \ \text{（元）}.
$
**C**.

（拓展：因为没有限定 $ a, b, c $ 特性，所以其实有无数种解，可以任意假设一个值，赋 0 可，假设其他值也可，比如 $ a = 3 $，再相应求出 $ b $ 和 $ c $。赋 0 时，赋 $ x $ 或 $ z = 0 $ 也一样。）

**解法 2：配系数法**
$
3x + 7y + z = 32 \quad \text{①} \quad ; \quad 4x + 10y + z = 43 \quad \text{②}
$
$\text{①} \times 3 - \text{②} \times 2$，得：
$
x + y + z = 10
$
**C**.
</BlurredAnswer>

